信号与系统教程及实验(第2版) 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

杜尚丰主编的《信号与系统教程及实验（第2版）》以全新的编排方式，由浅入深、循序渐进，并引入现代计算方法，介绍信号与系统的基本内容，包括：信号与系统分析的基本概念与方法；连续时间系统与离散时间系统的时域分析；连续信号的傅里叶变换与系统的频域分析；连续信号的拉普拉斯变换与系统的S域分析；离散信号与系统的Z变换域分析；在上述内容的基础上介绍了系统的状态空间分析方法。每章都配有例题与MATLAB仿真实验源程序。本书配有两个附录：附录A——信号流图；附录B——哈密顿凯莱定理。

本书可作为高等学校工科（理科）的自动化类、电子类、通信类和电气类专业学生的教材，也可供相关科研与工程技术人员自学参考。

第1章 信号与系统概述

1.1 绪言

1.2 信号

1.3 信号的基本运算

1.4 阶跃函数和冲激函数

1.5 系统的描述

1.6 系统的性质

1.7 LTI系统分析方法概述

习题

第2章 系统的时域分析

2.1 LTI连续系统的响应

2.1.1 微分方程的经典解

2.1.2 零输入响应和零状态响应

2.1.3 冲激响应和阶跃响应

2.1.4 卷积积分

2.2 离散系统的时域分析

2.2.1 LTI离散系统的响应

2.2.2 差分方程的经典解

2.2.3 零输入响应和零状态响应

2.2.4 单位序列和单位序列响应

2.2.5 卷积和

习题

第3章 连续信号的傅里叶变换与频域分析

3.1 非周期信号的傅里叶变换

3.2 傅里叶变换的性质

3.3 周期信号的傅里叶变换

3.3.1 正弦、余弦信号的傅里叶变换

3.3.2 一般周期信号的傅里叶变换

3.4 采样信号的傅里叶变换与采样定理

3.4.1 采样信号的傅里叶变换

3.4.2 采样定理

3.5 傅里叶变换的应用

3.5.1 频域法求系统的响应

3.5.2 无失真传输

3.5.3 理想低通滤波器

3.5.4 调制与解调

3.6 连续信号傅里叶变换的MATLAB应用实例

本章小结

习题

第4章 拉普拉斯变换和连续时间系统的S域分析

4.1 拉普拉斯变换

4.2 拉普拉斯变换的性质

4.3 拉普拉斯逆变换

4.4 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

4.5 用拉普拉斯变换求解线性系统的响应

4.5.1 微分方程的S域求解

4.5.2 S域元件模型

4.6 系统函数

4.6.1 系统函数

4.6.2 系统的联结

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第3章连续信号的傅里叶变换与频域分析3.1非周期信号的傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义在高等数学以及电路等课程中已熟悉了周期信号的傅里叶级数： 一个周期为T角频率为ω1=2πT的周期信号f(t)，可展开成指数形式的傅里叶级数，即f(t)=∑∞n=-∞Fnejnω1t（3.1）其中，Fn=1T∫T2-T2f(t)e-jnω1tdt。

    为了直观地表示出信号中所含各频率分量的大小，以各频率分量（nω1）为横坐标，以各分量的幅度|Fn|为纵坐标，可画出信号的幅度谱。周期信号的频谱是一条条的离散谱线，相邻谱线之间的间隔是ω1，每条谱线的幅度是Fn。现在由周期信号的傅里叶级数推导出非周期信号的傅里叶变换。

    显然，当周期信号的周期T→∞时可作为非周期信号来处理。此时，周期信号的频谱发生如下变化： （1） 相邻谱线的间隔ω1=2πT趋近于无穷小，从而周期信号的离散谱密集成为连续谱； （2） 各频率分量的幅度Fn也趋于无穷小。因此，非周期信号的频谱不能再用周期信号的频谱Fn来表示。

    式中，ω1和Fn都趋于无穷小，但两个无穷小量的比值有望不趋于0，因此2πFnω1有望不趋于0。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念，令F(jω)=limT→∞2πFnω1=limT→∞FnT（3.2）函数F(jω)可以看作是单位频带的振幅，类似于物质单位体积的质量是密度，称F(jω)为频谱密度函数。

    下面由周期信号的傅里叶级数推导出F(jω)的表达式。

    由式（3.1）可得FnT=∫T2-T2f(t)e-jnω1tdtf(t)=∑∞n=-∞FnTejnω1t.1T(3.3)(3.4)当周期T→∞时，ω1趋近于无穷小，取其为dω，式中nω1是变量，当ω1≠0时，是离散值，当ω1趋近于无穷小时，它就成为连续变量，取为ω。因为T→∞，所以式（3.3）中积分限变为-∞到∞，式（3.4）中求和符号也要相应改写为积分，同时1T=ω12π将趋近于dω2π。于是，式(3.3)和式(3.4)成为limT→∞FnT=∫∞-∞f(t)e-jωtdt=defF(jω)(3.5)f(t)=12π∫∞-∞F(jω)ejωtdω(3.6)式(3.5)称为函数f(t)的傅里叶变换，有些教材中将F(jω)记为F(ω)或F(ejω)，都是相同的含义。式(3.6)称为函数F(jω)的傅里叶逆变换（或逆变换）。F(jω)称为f(t)的频谱密度函数，简称为频谱函数，而f(t)称为F(jω)的原函数。式（3.5）和式（3.6）也可用符号简记作F(jω)=F［f(t)］(3.7)f(t)=F-1［F(jω)］(3.8)f(t)与F(jω)的对应关系还可简记为f(t)F(jω)(3.9）频谱密度函数F(jω)是一个复函数，它可写为F(jω)=|F(jω)|ejφ(ω)=R(ω)+jX(ω)(3.10）其中，F(jω)和φ(ω)分别是模和相位，谱图|F(jω)|~ω称为幅度谱，谱图φ(ω)~ω称为相位谱。R(ω)和X(ω)分别是F(jω)的实部和虚部。

    下面对傅里叶变换的公式作进一步分析，以说明信号傅里叶变换的意义。

    式(3.6)可写成三角函数形式，即f(t)=12π∫∞-∞F(jω)ejωtdω=12π∫∞-∞|F(jω)|ej［ωt+φ(ω)］dω=12π∫∞-∞|F(jω)|cos［ωt+φ(ω)］dω+j12π∫∞-∞|F(jω)|sin［ωt+φ(ω)］dω(3.11)3.2节将证明，F(jω)是ω的偶函数，φ(ω)是ω的奇函数，因此|F(jω)|sin［ωt+φ(ω)］是ω的奇函数，而|F(jω)|cos［ωt+φ(ω)］是ω的偶函数。因此，式（3.11）中第二项积分的被积函数是ω的奇函数，其积分为零，而 个积分中的被积函数是ω的偶函数，有f(t)=1π∫∞0|F(jω)|cos［ωt+φ(ω)］dω（3.12）式（3.12）表明，非周期信号f(t)和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量的和。不同的是，由于非周期信号的T→∞,ω→0，于是它包含了从零到无穷大的所有频率分量。

    需要说明的是，前面在推导傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。数学证明指出，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t) 可积，即∫∞-∞|f(t)|dt    2. 典型非周期信号的傅里叶变换下面利用傅里叶变换的表达式求几种典型非周期信号的频谱。

    1） 矩形脉冲信号图3.1（a）所示为矩形脉冲信号（也称门函数），用符号gτ(t)表示，其脉冲宽度为τ，脉冲幅度为A，求其频谱函数。

    图3.1矩形脉冲信号及其频谱解图3.1（a）的矩形脉冲信号可表示为gτ(t)=A，|t|τ2(3.13）由式（3.5）可求得其频谱函数为Gτ(jω)=∫∞-∞gτ(t)e-jωtdt=∫τ2-τ2Ae-jωtdt=Ae-jωτ2-ejωτ2-jω=2Asinωτ2ω=AτSaωτ2(3.14）其频谱图如图3.1（b）所示。分析该频谱的特点如下： （1） 非周期的矩形脉冲信号其频谱是连续谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。

    （2） 在时域里占据有限范围-τ2,τ2的矩形脉冲信号，其频谱以Saωτ2的规律变化，分布在无限宽的频率范围上。信号在时域中有限，则在频域将无限延续。

    （3） 频谱图中 个零点对应的角频率为2πτ频率为1τ。因为信号的能量主要集中在 零点内，常取从零到 个零点1τ之间的频段为信号的频带宽度。这样，矩形脉冲信号的带宽Δf=1τ，脉冲宽度τ越窄，其占有的频带Δf越宽，高频分量越多。即信号传输速度越快，传送信号所需要占用的频带越宽。

    2） 三角形脉冲信号三角形脉冲信号的脉冲宽度为2τ，幅度为A，如图3.2所示，求其频谱。

    图3.2三角形脉冲信号及其频谱解与矩形脉冲信号的求解类似，三角形脉冲fΔ(t)。这里三角形脉冲的宽度为τ、幅度为1，为此选宽度为τ2、幅度为2τ的矩形脉冲进行卷积，如图3.18(a)所示，即令f(t)=2τgτ2(t)则fΔ(t)=f(t)*f(t)由于矩形脉冲gτ(t)与其频谱函数的对应关系是gτ(t)τSaωτ2图3.18例3.6图则gτ2(t)τ2Saωτ4于是得信号f(t)的频谱函数为F(jω)=F2τgτ2(t)=τ2Saωτ4其频谱如图3.18（b）所示。

     由时域卷积定理可得三角形脉冲fΔ(t)的频谱函数为FΔ(jω)=F［fΔ(t)］=F［f(t)*f(t)］=F(jω)F(jω)=τ2Sa2ωτ4其频谱如图3.18（d）所示。

    3.3周期信号的傅里叶变换虽然周期信号不满足 可积的条件，但在允许冲激函数存在并认为它是有意义的前提下， 可积就成为不必要的条件了，从这种意义上说，周期信号的傅里叶变换是存在的。本节将讨论周期信号的傅里叶变换，这样就能把周期信号与非周期信号用相同的观点和方法进行分析运算，使傅里叶变换的应用范围 加广泛。

    3.3.1正弦、余弦信号的傅里叶变换由于常数1（即幅值为1的直流信号）的傅里叶变换为F［1］=2πδ(ω)（3.64）根据频移特性可得F［ejω0t］=2πδ(ω-ω0)（3.65）F［e-jω0t］=2πδ(ω+ω0)（3.66）利用式（3.65）和式（3.66），可得正弦、余弦信号的傅里叶变换为F［cos(ω0t)］=F12(ejω0t+e-jω0t)=π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］（3.67）F［sin(ω0t)］=F12j(ejω0t-e-jω0t)=jπ［δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)］（3.68）正弦、余弦信号的波形及频谱分别如图3.19所示。

    图3.19正弦、余弦信号及其频谱3.3.2一般周期信号的傅里叶变换1. 一般周期信号一个周期为T的周期函数fT(t)，可展开成指数形式的傅里叶级数fT(t)=∑∞n=-∞FnejnΩt（3.69）式中,Ω=2πT是基波角频率，Fn是傅里叶级数的系数Fn=1T∫T2-T2f(t)ejnΩtdt（3.70）对式（3.69）等号两端取傅里叶变换，得F［fT(t)］=F∑∞n=-∞FnejnΩt=∑∞n=-∞FnF［ejnΩt］=2π∑∞n=-∞Fnδ(ω-nΩ)（3.71）上式表明，周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率nΩ (n=0,±1,±2,…)处，其强度为各相应幅度Fn的2π倍。

    2. 傅里叶系数的求解式（3.71）中傅里叶系数的求解方法有两种。

    方法一： 按照周期信号傅里叶级数展开式中系数的求解方法求解，即Fn=1T∫T2-T2f(t)ejnΩtdt（3.72）方法二： 利用傅里叶级数与单脉冲信号的傅里叶变换间的关系求解。

    从周期信号f(t)中取其 个周期，得到一个单脉冲信号f0(t)，它的傅里叶变换为F0(jω)=∫∞-∞f0(t)e-jωtdt=∫T2-T2f0(t)e-jωtdt（3.73）比较式（3.72）和式（3.73）可得Fn=1TF0(jω)|ω=nΩ（3.74）即周期信号的傅里叶系数Fn等于F0(jω)在频率为nΩ处的值乘以1T，这提供了另一种求周期信号傅里叶系数的方法。

    例3.7周期矩形脉冲信号f(t)如图3.20所示，其周期为T1，脉冲宽度为τ，幅度为E，试求其频谱函数。

    图3.20周期矩形脉冲的傅里叶变换解利用方法二可以很方便地求出傅里叶系数Fn。

    周期信号f(t)的单脉冲信号为f0(t)，如图3.20所示，其傅里叶变换为F0(jω)=EτSaωτ2根据式（3.74）可得Fn=1T1F0(jω)|ω=nΩ=EτT1SanΩτ2（3.75）其中，Ω=2πT1。

    将它代入式（3.71），得F(jω)=F［f(t)］=2π∑∞n=-∞Fnδ(ω-nΩ)=2πEτT1∑∞n=-∞SanΩτ2δ(ω-nΩ) =EτΩ∑∞n=-∞SanΩτ2δ(ω-nΩ)（3.76）由式（3.76）可见，周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶变换（频谱密度）由位于ω=0,±Ω,±2Ω,…处的冲激函数所组成，其间隔为Ω=2πT1。图3.20中画出了T1=4τ情况下的频谱图。由图可见，周期信号的频谱密度是离散的。

    例3.8图3.21(a)画出了周期为T角频率为w0=2πT的周期单位冲激序列δT(t)δT(t)=∑∞m=-∞δ(t-mT)（3.77）其中,m为整数，求其傅里叶变换。

    图3.21周期冲激序列及其傅里叶变换解首先求出周期单位冲激序列的傅里叶系数。

    δT(t)的 个周期为单位冲激信号，其傅里叶变换为F0(jω)=1则Fn=1TF0(jω)|ω=nΩ=1T将它代入式（3.71），得δT(t)的傅里叶变换为F［δT(t)］=2πT∑∞n=-∞δ(ω-nω0)=ω0∑∞n=-∞δ(ω-nω0)（3.78）上式表明，在时域中，周期为T的单位冲激函数序列δT(t)的傅里叶变换是一个在频域中周期为ω0、强度为ω0的冲激序列。图3.21(b)中画出了δT(t)的频谱函数FT［δT(t)］。

    3.4采样信号的傅里叶变换与采样定理由于离散时间信号的处理 为灵活、方便，在许多实际应用中，需要首先将连续信号转换为相应的离散信号，并进行加工处理，然后再将处理后的离散信号转换为连续信号。采样定理为连续信号与离散信号的相互转换提供了理论依据。

    3.4.1采样信号的傅里叶变换所谓“采样”，也称为“采样”或“采样”，图3.22采样信号的波形就是利用采样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“采样信号”，以fs(t)表示，如图3.22所示，采样信号fs(t)可表示为fs(t)=f(t)p(t)注意，这里的“采样”与信号分析与处理研究领域中的采样函数Sa(t)=sintt具有 不同的含义。

    下面研究信号经采样后频谱的变化规律。

    设f(t)F(jω)p(t)P(jω)fs(t)Fs(jω)若采用均匀采样，采样脉冲序列p(t)的周期为Ts，则采样频率为ωs=2πfs=2πTs因为fs(t)=f(t)p(t)（3.79）根据频域卷积定理可知Fs(jω)=12πF(jω)*P(jω)（3.80）采样脉冲序列p(t)是周期信号，其傅里叶变换P(jω)为P(jω)=2π∑∞n=-∞Pnδ(ω-nωs)（3.81）其中Pn=1Ts∫Ts2-Ts2p(t)e-jnωstdt（3.82）将式（3.81）代入式（3.80）中，化简后得到采样信号fs(t)的傅里叶变换为Fs(jω)=12πF(jω)*2π∑∞n=-∞Pnδ(ω-nωs)=∑∞n=-∞PnF［j(ω-nωs)］（3.83）式（3.83）表明，连续信号在时域被采样后，它的频谱Fs(jω)是连续信号频谱F(jω)的形状以采样频率ωs为间隔周期重复而得到，在重复的过程中幅度被p(t)的傅里叶系数Pn所加权。因为Pn只是n（而不是ω）的函数，所以F(jω)在重复过程中不会使形状发生变化。

    不同的采样脉冲加权系数Pn会不同。若采样脉冲p(t)是周期单位冲激序列，这种采样称为冲激采样，也称“理想采样”，如图3.23所示。

    图3.23冲激采样信号的频谱此时p(t)=δTs(t)=∑∞n=-∞δ(t-nTs)（3.84）Pn=1Ts∫Ts2-Ts2δTs(t)e-jnωstdt=1Ts∫Ts2-Ts2δ(t)e-jnωstdt=1Ts把它代入式（3.83），将得到冲激采样信号的频谱为Fs(jω)=1Ts∑∞n=-∞F［j(ω-nωs)］（3.85）式（3.84）表明，冲激采样后信号的频谱是原频谱F(jω)以ωs为周期等间隔地重复且幅度相等，如图3.23所示。

    3.4.2采样定理本节讨论如何从采样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。

     的“采样定理”对此做出了明确而精辟的回答。采样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位，许多近代通信方式（如数字通信系统）都以此作为理论基础。

    1. 时域采样定理 时域采样定理： 一个频谱受限的信号f(t)，如果其角频率只占据-ωm~ωm的范围，则信号f(t)可以用等间隔的采样值 表示，而采样间隔Ts必须不大于12fm其中fm=ωm2π，或者 采样频率fs为2fm。

    通常把允许的 采样率fs=2fm称为“奈奎斯特（Nyquist）频率”，把允许的 采样间隔Ts=12fm=πωm称为“奈奎斯特间隔”。

    从采样定理可以知道，要由采样信号恢复原信号，必须满足两个条件： ①f(t)必须是带限信号，即只占据有限的频带宽度，设其 角频率为ωm； ②采样频率不能太低，必须满足fs≥2fm，或者说采样间隔不能太大，必须Ts≤12fm，否则将发生频谱混叠，从而无法恢复原信号。下面将对此说明。

    用图3.24来说明此定理。假定信号f(t)的频谱F(jω)限制在-ωm~ωm范围内，若以间隔Ts或重复频率ωs=2πTs对f(t)进行采样，根据3.4.1节的内容，采样后信号fs(t)的频谱Fs(jω)是F(jω)以ωs为周期重复。只有满足ωs≥2ωm条件，Fs(jω)才不会产生频谱的混叠。这样，采样信号fs(t)保留了原连续信号f(t)的全部信息， 可以由fs(t)恢复出f(t)。 图3.24画出了当采样率ωs≥2ωm（不混叠时）及ωs    图3.24冲激采样信号的频谱从图3.24可以看出，在满足采样定理的条件下，为了从频谱Fs(jω)中无失真地选出F(jω)，可以利用低通滤波器从Fs(jω)中得到频谱F(jω)，然后对F(jω)逆变换即可恢复出原信号f(t)。如果不满足采样定理，将发生频谱混叠而无法恢复原信号。

    2. 频域采样定理根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推论出频域采样定理。频域采样定理的内容是： 若信号f(t)是时间受限信号，它集中在-tm~tm的时间范围内，若在频域中以不大于12tm的频率间隔对f(t)的频谱F(jω)进行采样，则采样后的频谱F1(jω)可以 地表示原信号。

    从物理概念上不难解释，因为在频域中对F(jω)进行采样，等效于f(t)在时域中重复形成周期信号f1(t)。只要采样间隔不大于12tm，则在时域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号从周期信号f1(t)中选出单个脉冲就可以无失真地恢复出原信号f(t)。

    例3.9已知实信号f(t)的 频率为fm(Hz)，试计算对各信号f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)·f(2t)采样不混叠的 小采样频率。

    解（1） 设f(t)F(jω)，则f(2t)12Fjω2，其 频率变为2fm，所以对信号f(2t)抽样时， 小采样频率为4fm(Hz)。

    同理，根据信号时域与频域的对应关系及采样定理得： （2） f(t)*f(2t)频谱的 频率为fm，所以对其采样时， 小采样频率为2fm(Hz)。

    （3） f(t)·f(2t)频谱的 频率变为3fm，所以对其采样时， 小采样频率为6fm(Hz)。

    3.5傅里叶变换的应用作为信息科学研究领域中广泛应用的有力工具，傅里叶变换在很多后续课程以及研究工作中发挥着至关重要的作用。傅里叶变换应用于通信系统有着久远的历史和宽阔的范围，现代通信系统的发展处处伴随着傅里叶变换方法的精心运用。本节初步介绍这些应用中 主要的几个方面——系统响应的求解、无失真传输、理想低通滤波器、滤波和调制与解调等。

    3.5.1频域法求系统的响应1. 连续系统的频率响应定义单位冲激响应h(t)的傅里叶变换H(jω)为系统的频率响应，即F ［h(t)］=∫∞-∞h(t)e-jωtdt=H(jω)（3.86）有时也称H(jω)为傅里叶变换形式的系统函数。

    一般情况下，系统的频率响应H(jω)为复值函数，可用幅度和相位表示H(jω)=|H(jω)|ejφ(ω)（3.87）称|H(jω)|~ω为系统的幅频特性，|φ(ω)|~ω为系统的相频特性。

    任意激励信号都可以看作无穷多项虚指数信号ejωt的叠加，因此先研究虚指数信号作用于系统所引起的响应。设LTI系统的冲激响应为h(t)，当系统输入是角频率为ω的虚指数信号f(t)=ejωt(-∞

    因此，式（3.88）可写为y(t)=ejωtH(jω)（3.89）式（3.89）说明，虚指数信号ejωt作用于线性时不变系统时，系统的零状态响应y(t)仍为同频率的虚指数信号，但其幅度和相位受系统频率响应H(jω)的加权。所以，H(jω)反映了LTI系统对不同频率信号的响应特性。

    由此，一个稳定的系统对正弦信号sin(ωt)所产生的响应为y(t)=sin(ωt)H(jω)=sin(ωt)|H(jω)|ejφ(ω)=|H(jω)|sin(ωt+φ(ω))（3.90）因为系统是稳定的，所以该响应也即为系统的正弦稳态响应。

    当激励为任意信号f(t)时，因为f(t)可以看作无穷多项虚指数信号ejωt的叠加，即f(t)=12π∫∞-∞F(jω)ejωtdω把这些分量作用于系统所得的响应求和，即可得到系统的零状态响应y(t)=T{f(t)}=12π·T∫∞-∞F(jω)ejωtdω=12π∫∞-∞F(jω)·T{ejωt}dω（3.91）根据式（3.89），式（3.91）中的T{ejωt}=T{f(t)}=ejωtH(jω)，所以y(t)=T{f(t)}=12π∫∞-∞F(jω)［H(jω)ejωt］dω=12π∫∞-∞F(jω)H(jω)ejωtdω（3.92）令响应y(t)的频谱函数为Y(jω)，则由式（3.91）得Y(jω)=F(jω)H(jω)（3.93）因此H(jω)=Y(jω)F(jω)（3.94）式（3.94）给出了频率响应的另外一种定义，即系统零状态响应的傅里叶变换Y(jω)与激励傅里叶变换F(jω)的比值。

    例3.10已知某连续LTI系统的冲激响应h(t)为h(t)=(e-t-e-3t)ε(t)求该系统的频率响应H(jω)。

    解根据频率响应的定义F［h(t)］=H(jω)=1jω+1-1jω+3=2(jω)2+4jω+3例3.11某LTI系统的频率响应H(jω)=2-jω2+jω，若系统的输入为f(t)=cos(2t)，求系统的输出y(t)。

    解方法一： 因为F(jω)=π［δ(ω+2)+δ(ω-2)］所以系统的输出y(t)的傅里叶变换Y(jω)为Y(jω)=F(jω)H(jω)=2-jω2+jω·π［δ(ω+2)+δ(ω-2)］=π·2-jω2+jω·δ(ω+2)+π·2-jω2+jω·δ(ω-2)=π·2+j22-j2·δ(ω+2)+π·2-j22+j2·δ(ω-2)=π［jδ(ω+2)-δ(ω-2)］=jπ［δ(ω+2)-δ(ω-2)］所以y(t)=sin(2t)方法二： H(j2)=2-j22+j2=1·e-j90°根据式（3.90）有y(t)=1·|H(j2)|·cos(2t-90°)=cos(2t-90°)=sin2t2. 利用H(jω)求系统的响应根据第2章的内容，激励信号f(t)经过冲激响应为h(t)的线性时不变系统时，所产生的零状态响应y(t)为y(t)=f(t)*h(t)（3.95）现在改为在频域中求解此响应。根据式（3.93）有Y(jω)=H(jω)F(jω)（同时对式（3.95）两端取傅里叶变换，再根据卷积定理也可以得到式（3.93））。利用该式给出的傅里叶分析方法，可以求线性系统对激励信号的零状态响应。下面的例子研究利用H(jω)求系统对非周期信号的响应。

    例3.12图3.25(a)表示RC低通网络，在输入端加入矩形脉冲v1(t)如图3.25(b)所示，利用傅里叶分析方法求输出端电压v2(t)。

    解根据电路图容易求得系统的频率响应H(jω)=1RCjω+1RC引用符号α=1RC得到H(jω)=αjω+α激励信号v1(t)是延迟的矩形脉冲，其傅里叶变换为V1(jω)=EτSaωτ2e-jωτ2=Eτsinωτ2ωτ2e-jωτ2引用式(3.93)求得响应v2(t)的傅里叶变换V2(jω)=H(jω)V1(jω)=αα+jωEτsinωτ2ωτ2e-jωτ2=|V2(jω)|ejφ2(ω)其中|V2(jω)|=2αEsinωτ2ωα2+ω2(3.96)利用式 (3.96)可以描绘响应的幅度谱。

    为便于进行逆变换以求得v2(t)的波形，把V2(jω)写作V2(jω)=αα+jω·Ejω(1-e-jωτ)=E1jω-1α+jω(1-e-jωτ)=Ejω(1-e-jωτ)-Eα+jω(1-e-jωτ) 于是有v2(t)=E［ε(t)-ε(t-τ)］-E［e-αtε(t)-e-α(t-τ)ε(t-τ)］=E(1-e-αt)ε(t)-E［1-e-α(t-τ)］ε(t-τ)其中，v2(t)的波形如图3.25(c)所示。图3.25(d)、图3.25(e)、图3.25(f)则分别绘出了上述各傅里叶变换式的幅频特性曲线|H(jω)|、|V1(jω)|、|V2(jω)|。由图可见，输出信号的波形与输入相比产生了失真，主要表现在输出波形的上升和下降特性上。输入信号在t=0时急剧上升，在t=τ时急剧下降，这种急速变化意味着有很高的频率分量。由于网络是低通滤波网络，不允许高频分量通过，于是输出信号在急剧变化的地方（t=0和t=τ）变得圆滑，即其上升沿和下降沿不再陡直，而是表现为渐变，输出的波形不再是矩形脉冲，而是以指数规律逐渐上升和下降。从输入信号和输出信号的频谱图上也能清楚地看出高频分量的降低。

    图3.25矩形脉冲通过RC低通网络从以上分析可以看出，利用傅里叶变换形式的系统函数H(jω)从频谱改变的观点解释了激励与响应波形的差异，物理概念比较清晰，但傅里叶分析求逆的过程比较烦琐。引出H(jω)的重要意义在于研究信号传输的基本特性，建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。

    3.5.2无失真传输在信号传输时，总是希望信号通过传输系统时，信号无任何失真，这就要求系统是一个无失真的传输系统。所谓无失真传输，是指输出信号与输入信号相比，只是大小和出现时间的不同，而无波形的变化。若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y（t）应为y(t)=Kf(t-td)(3.97)其中，K是一个正常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。下面讨论为满足式(3.97)，即为实现无失真传输，系统应具备的条件。对式(3.97)进行傅里叶变换，并根据傅里叶变换的时移特性，可得Y(jω)=KF(jω)e-jωtd故无失真传输系统的频率响应为H(jω)=Y(jω)F(jω)=Ke-jωtd(3.98)式(3.98)就是对于系统的频率响应特征提出的无失真传输条件，其幅度响应和相位响应分别为|H(jω)|=K,φ(ω)=-ωtd(3.99)由式(3.99)可见，无失真传输系统的幅频特性是一个常数，而相频特性是一条通过原点的直线。因此无失真传输系统应该满足两个条件： ①系统的幅度响应|H(jω)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大； 图3.26无失真传输系统的幅度和相位响应②系统的相位响应φ(ω)在整个频率范围内应与ω成正比，如图3.26所示。

    如果系统的幅频响应|H(jω)|不为常数，信号通过时就会产生失真，称为幅度失真； 如果系统的相位响应φ(ω)不是ω的线性函数，信号通过时也会产生失真，称为相位失真。

    式(3.98)和式(3.99)说明了为满足无失真传输对于系统频率响应H(jω)的要求，这是从频域角度提出的，如果用时域特性表示，可以对式(3.98)求逆变换，得系统的单位冲激响应h(t)=Kδ(t-td)(3.100)此结果表明，当信号通过线性系统时，为了不产生失真，系统的冲激响应应为冲激函数。

    例3.13已知一LTI系统的频率响应为H(jω)=1-jω1+jω（1） 求系统的幅度响应|H(jω)|和相位响应φ(ω)，并判断系统是否为无失真传输系统。

    （2） 当输入为f(t)=sint+sin3t,-∞

    解（1） 系统的频率响应可化简为H(jω)=e-j2arctan(ω)所以系统的幅度响应和相位响应分别为|H(jω)|=1，φ(ω)=-2arctan(ω)虽然系统的幅度响应|H(jω)|对所有的频率都为常数，但相位响应φ(ω)不是ω的线性函数，所以该系统不是无失真传输系统。

    （2） 输入信号f(t)由角频率为ω1=1和ω2=3的两个正弦信号组成，所以系统的零状态响应为y(t)=|H(j1)|sin(t+φ(1))+|H(j3)|sin(t+φ(3))=sint-π2+sin(3t-0.795π)图3.27的实线表示系统的输入信号f(t)，虚线为系统的输出信号y(t)。由图可知，输出信号相对于输入信号产生了失真。输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。

    图3.27例3.13(2)的输入和输出信号3.5.3理想低通滤波器滤波器是用来筛选信号的，它允许部分频率的信号顺利通过，而另一部分频率的信号受到较大抑制。信号能通过的频率范围称为通带，受到很大衰减或 被抑制的频率范围称为阻带。一般信号通过系统后，其频率分量都会有所改变。从这一点上来说，任何一个系统都可以看成是一个滤波器。 在实际应用中，按照允许通过的频率成分划分，滤波器可分为低通、高通、带通和带阻等几种。它们在理想情况下系统的幅频响应分别如图3.28所示，其中图3.28（a）为低通，图3.28（b）为高通，图3.28（c）为带通，图3.28（d）为带阻。ωc是低通、高通的截止频率，ω1和ω2是带通和带阻的截止频率。本节重点讨论理想低通滤波器，其他三种滤波器的分析与之类似。

    图3.28理想滤波器幅频响应理想低通滤波器的幅频响应|H(jω)|在通带0~ωc（ωc称为截止角频率）恒为1，在通带之外为0； 相位响应φ(ω)在通带内与ω成线性关系，如图3.29所示，其频率响应可表示为H(jω)=|H(jω)|ejφ(ω)其中|H(jω)|=1,|ω|≤ωc0,ω为其他值φ(ω)=-ωtd(3.101)根据3.5.2节的内容，理想低通滤波器是将低于ωc的所有信号无失真地予以传送，而将高于ωc的信号 衰减。

    图3.29线性相位理想低通滤波器频率响应下面分析单位冲激信号和单位阶跃信号通过理想低通滤波器时的响应，这些响应的特点具有普遍意义，因而可以 清楚地理解一些有用的概念。

    1. 单位冲激响应对理想低通滤波器的H(jω)进行傅里叶逆变换得系统的单位冲激响应h(t)=12π∫∞-∞H(jω)ejωtdω=12π∫ωc-ωc1·e-jωtdejωtdω=12π∫ωc-ωcejω(t-td)dω=ωcπSa［ωc(t-td)］(3.102)h(t)的波形如图3.30所示，分析其波形可发现： (1) 系统输入为δ(t)时，输出的h(t)是一个采样函数，其波形与输入信号不同，产生了失真。这是因为理想低通滤波器是一个带限系统，而输入信号δ(t)的频谱为常数1，频带宽度为无穷大。

    (2) 冲激响应的主瓣宽度为td+πωc-td-πωc=2πωc。因此，截止频率ωc越小，主瓣宽度越大，失真也就越大。当ωc→∞时，理想低通滤波器变为无失真传输系统，采样函数也变为冲激函数。

    图3.30理想低通滤波器的单位冲激响应(3) 冲激响应h(t)的主峰出现的时刻t=td，比输入的冲激信号δ(t)的作用时刻t=0延迟了一段时间td，这正是理想低通滤波器相位响应的斜率。

    (4) 冲激响应在t    2. 单位阶跃响应由于单位阶跃信号ε(t)是单位冲激信号δ(t)的积分，根据线性时不变系统的特性，系统的单位阶跃响应是系统单位冲激响应的积分，即g(t)=h(-1)(t)=∫t-∞h(τ)dτ=ωcπ∫t-∞Sa［ωc(τ-td)］dτ=1π∫ωc(τ-td)-∞Sa(x)dx=1π∫0-∞Sa(x)dx+1π∫ωc(τ-td)0Sa(x)dx由定积分公式有1π∫0-∞Sa(x)dx=1π∫∞0Sa(x)dx=12因此理想低通滤波器的阶跃响应g(t)为g(t)=12+1π∫ωc(τ-td)0Sa(x)dx（3.103）其波形如图3.31所示。

    图3.31理想低通滤波器的阶跃响应由图可见，阶跃响应g(t)比输入阶跃信号ε(t)延迟一段时间td，td仍是理想低通滤波器相位特性的斜率。在t=td时刻，阶跃响应波形的斜率 。通常将阶跃响应从 小值升到 值所需要的时间称为阶跃响应的上升时间tr。从图中可见，上升时间与冲激响应的主瓣宽度一样，都是2π/ωc。这表明阶跃响应的上升时间tr与理想低通滤波器的通带宽度ωc成反比。ωc越大，阶跃响应上升时间就越短，当ωc→∞时，tr→0。该结论对各种实际的滤波器具有指导意义。

    由理想低通滤波器的阶跃响应波形还可以发现，阶跃信号通过滤波器后，在t=td前后出现了振荡，其振荡的 峰值约为阶跃突变值的9%左右。如果增大理想低通滤波器的带宽ωc，可以使阶跃响应的上升时间减小，却不能改变9%上冲的强度。这种现象称为Gibbs现象。也就是说只要理想低通滤波器的带宽为有限，其阶跃响应就会出现振荡，但振荡的幅度不变。

    通过对理想低通滤波器几种响应的分析，可以得到以下一些有用的结论。

    (1) 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器相位响应的斜率。

    (2) 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通带宽度成反比。

    例3.14求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-∞

    解因为Sa(t)πg2(ω)利用傅里叶变换的频移特性，可得输入信号f(t)的频谱为F(jω)=π2［g2(ω+2)+g2(ω-2)］F(jω)的幅频特性如图3.32(b)所示。

    则系统的输出频谱Y(jω)为Y(jω)=H(jω)F(jω)=e-jωtdπ2［g2(ω+2)+g2(ω-2)］，|ω|≤ωc图3.32例3.14图因为ωc=4>3，所以输入信号的所有频率分量都能通过系统，即Y(jω)=e-jωtdπ2［g2(ω+2)+g2(ω-2)］所以系统的输出y(t)为y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos［2(t-td)］，-∞

    3.5.4调制与解调调制与解调是傅里叶变换在通信系统中 重要的应用。在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为提高传输效率和传输质量，往往需要进行调制和解调。调制作用的实质是将低频信号的频谱搬移到较高频率范围，这样就容易以电磁波形式辐射出去； 同时，通过调制把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，即信号分别托附于不同频率的载波上，接收机就可以分离出所需频率的信号，不致互相干扰。此问题的解决为一个信道中传输多对通话提供了依据，这就是利用调制原理实现“多路复用”。

    对模拟信号的调制方式主要有调幅（Amplitude Modulation，AM）、调频（Frequency Modulation，FM)与调相（Phase Modulation，PM）。其中调幅又分为抑制载波调幅（SCAM）、常规调幅（AM）、单边带调幅（SSB）和残留边带调幅（VSB）等。调制理论的详细研究将是通信原理等课程的主题，而各种调制电路的分析要在高频电路（通信电路）中学习。下面仅对幅度调制中的SCAM和AM做简单介绍。

    1. 抑制载波幅度调制（SCAM）1） 调制图3.33调制原理方框图及其频谱SCAM的原理框图如图3.33（a）所示。其中g(t)为待调制的低频信号，cos(ω0t)为高频的载波信号，通过g(t)与cos(ω0t)相乘，得到已调信号y(t)=g(t)cos(ω0t)。下面分别从时域和频域分析连续信号抑制载波调幅的基本原理。

    若待调信号g(t)的频谱为G(jω)，占据-ωm~ωm的有限频带，如图3.33（b）所示，根据傅里叶变换的频移特性及卷积定理，容易求得已调信号y(t)的频谱Y(jω)，即y(t)=g(t)cos(ω0t)Y(jω)=12πG(jω)*π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］=12［G(ω+ω0)+G(ω-ω0)］(3.104)可见，信号的频谱被搬移到载频ω0附近，因为频率比较高，调制完后的信号容易以电磁波形式辐射出去。

    2） 解调已调信号y(t)通过信道传输后，在接收端恢复原始信号g(t)的过程称为解调。如图3.34(a)所示实现解调的一种原理方框图，这里cos(ω0t)信号是接收端提供的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相，y(t)与cos(ω0t)相乘得g0(t)，即g0(t)=y(t)cos(ω0t)=［g(t)cos(ω0t)］cos(ω0t)=12g(t)［1+cos(2ω0t)］=12g(t)+12g(t)cos(2ω0t)(3.105)通过低通滤波器H(jω)，滤掉高频分量12g(t)cos(2ω0t)，即可取出g(t)。

    也可以从频域的角度理解同步解调的完成，过程如下： 角形脉冲信号的傅里叶变换为F(jω)=∫∞-∞f(t)e-jωtdt=AτSa2ωτ2(3.15）其频谱如图3.2所示，由图可见， 零点对应的角频率也为2πτ。

    3） 升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号的表达式为f(t)=A21+cosπtτ，0≤|t|≤τ其波形如图3.3所示，求其频谱。

    解F(jω)=∫∞-∞f(t)e-jωtdt=∫τ-τA21+cosπtτe-jωtdt=AτSa(ωτ)1-ωτπ2（3.16）其频谱如图3.3所示，由图可见， 零点对应的角频率仍然为2πτ。

    图3.3升余弦脉冲信号及其频谱上述三个非周期信号： 矩形脉冲、三角形脉冲和升余弦脉冲，在时域中呈现越来越光滑的趋势（以出现不连续点的导数阶次来表示： 矩形脉冲原函数出现不连续点，三角形脉冲一阶导数出现不连续点，升余弦脉冲二阶导数出现不连续点），其频谱的 零点都位于2πτ，但 零点内频率分量的能量越来越高，图3.4单边指数函数（α>0） 零点以外的高次谐波越来越小。因此，时域函数越来越光滑，频域能量越来越集中。基于此，数字通信系统中，在传输带宽有限的情况下，信号用升余弦脉冲信号编码传输比矩形脉冲和三角形脉冲受到的损伤将会较小。

    4） 单边指数函数求图3.4所示单边指数函数f(t)=e-αtε(t)(α>0)的频谱函数。

    解将单边指数函数的表达式e-αtε(t)代入式（3.5），得F(jω)=∫∞-∞f(t)e-jωtdt=∫∞0e-αte-jωtdt=1α+jω（3.17）其幅度谱和相位频谱分别为|F(jω)|=1α2+ω2φ(ω)=-arctanωα幅度谱和相位谱分别如图3.5（a）和图3.5（b）所示。

    图3.5单边指数函数的幅度谱和相位谱（α>0）5) 双边指数函数（1） 求图3.6（a）所示双边指数函数的频谱函数。

    图3.6双边指数函数及其频谱解图3.6（a）所示的信号可表示为f1(t)=e-α|t|,α>0(3.18）或者写为f1(t)=eαt,t0(其中α>0)(3.19）将f1(t)代入式（3.5），可得其频谱函数为F1(jω)=∫0-∞eαte-jωtdt+∫∞0e-αte-jωtdt=1α-jω+1α+jω=2αα2+ω2（3.20）f1(t)的频谱如图3.6（b）所示。

    （2） 求图3.7（a）所示信号的频谱函数。

    解图3.7（a）所示的信号可写为f2(t)=-eαt,t0(其中α>0)(3.21）由式(3.5）可得其频谱函数为F2(jω)=-∫0-∞eαte-jωtdt+∫∞0e-αte-jωtdt=-1α-jω+1α+jω=-j2ωα2+ω2(3.22）F2(jω)的模与相位分别为|F2(jω)|=2ωα2+ω2φ2(ω)=π2，ω0(3.23）F2(jω)如图3.7（b）所示。

    图3接收端接收到的已调信号的频谱为Y(jω)，与cos(ω0t)相乘的结果使频谱Y(jω)向左、右分别移动w0并乘以系数12，即G0(jω)，再利用一个低通滤波器（通带截止频率介于ω0和2ω0-ωm之间），滤除在频率为2ω0附近的分量，即可取出g(t)，完成解调，详情如图3.34所示。

    图3.34同步解调原理方框图及其频谱图在这种调制、解调过程中，发射端并不传送载波信号cos(ω0t)，因此称为抑制载波调幅。这种方式需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波才能解调，从而使接收机复杂化。

    2. 常规调幅（AM） 为了在接收端省去本地载波，可采用如下方法： 在发射信号中加入一定强度的载波信号Acos(ω0t)，这时，发送端的合成信号为［A+g(t)］cos(ω0t)，如果A足够大，对于全部t，有A+g(t)>0，已调信号的包络就是A+g(t)（如图3.35所示）。

    图3.35调幅、抑制载波调幅及其解调波形这时，利用简单的包络检测器（由二极管、电阻、电容组成）即可从图3.35相应的波形中提取包络，恢复g(t)，不需要本地载波。图3.36是一个简单的包络检波器，通过跟踪已调信号的峰值，从而恢复原信号g(t)。常数A需要合理选择，从发射端来说，A的减小可以使发射端的功率减小，发射效率提高； 但在解调时，A必须足够大才能保证解调的精度和质量。因此，在调制效率和解调质量之间需要良好的平衡。此方法常用于民用通信设备，例如广播接收机等。

    由图3.35波形不难发现，在这种调制方法中，载波的振幅随信号g（t）成比例地改变，因而称为振幅调制或调幅。

    图3.36半波整流包络检波电路3.6连续信号傅里叶变换的MATLAB应用实例连续信号的傅里叶变换实际是一种积分运算，没办法用计算机直接实现。但在MATLAB 的Symbolic Math Toolbox 中定义了一种新的数据类型为符号对象（Symbolic Object），符号对象是用来存储代表符号的字符串，代表了符号变量、符号表达式和符号矩阵。符号运算过程中允许存在非数值的符号变量，但在使用符号变量之前，应先声明某些要用到的变量是符号变量。可以用符号运算实现连续信号的傅里叶变换。

    1. MATLAB求傅里叶正、逆变换MATLAB中提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的符号函数 fourier（）及 ifourier（）。两者的调用格式如下： Fw=fourier(ft,t,w)其功能为求时域函数ft的傅里叶变换Fw，ft是以t为自变量的时域函数，Fw是以角频率w为自变量的函数。

    ft=ifourier(Fw,w,t)其功能为求频域函数Fw的傅里叶逆变换ft，ft是以t为自变量的时域函数，Fw是以角频率w为自变量的函数。

    下面举例说明如何用以上函数求解连续信号的傅里叶变换。

    例3.15请画出矩形脉冲（也称门信号）f(t)=ε(t+0.5)-ε(t-0.5)傅里叶变换的幅度谱。

    程序如下： syms t wft=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');%生成门函数Fw=fourier(ft，t，w); %对门函数进行傅里叶变换FP=abs(Fw); %计算幅度谱subplot(211), ezplot(ft,［-pi/2 pi/2］),title('门信号');subplot(212),ezplot(FP,［-10*pi 10*pi］),title('傅里叶幅度谱');axis(［-10*pi 10*pi -0.1 1.1］) ;运行结果如图3.37所示。

    图3.37例3.15运行结果例3.16请画出三角形脉冲信号的傅里叶幅度谱。

    f2(t)=1-|t|，|t|≤10，|t|>1程序如下： f=sym('heaviside(t+1)-2*heaviside(t)+heaviside(t-1)');ft=int(f) %生成三角波Fw=fourier(ft,t,w); %对三角波进行傅里叶变换FP=abs(Fw); %计算幅度谱subplot(211),ezplot(ft,［-pi/2 pi/2］),title('三角波')subplot(212),ezplot(FP,［-10*pi 10*pi］),title('傅里叶幅度谱')axis(［-10*pi 10*pi -0.1 1.1］)运行结果如图3.38所示。

    图3.38例3.16运行结果例3.17请画出单边指数信号f3(t)=e-tε(t)的傅里叶幅度谱。 程序如下： syms t ut=sym('heaviside(t)');ft=exp(-t)*ut; %生成单边指数信号fw=fourier(ft); %对单边指数信号进行傅里叶变换fp=abs(fw); %计算幅度谱subplot(211),ezplot(ft,［0 5］);title('单边指数信号')subplot(212),ezplot(fp,［-10*pi 10*pi］);title('傅里叶幅度谱');axis(［-10*pi 10*pi 0 1.1］)运行结果如图3.39所示。

    图3.39例3.17运行结果例3.18请画出高斯信号f(t)=e-t2的傅里叶幅度谱。 程序如下： syms t wft=exp(-t.^2); %产生高斯信号fw=fourier(ft，t，w); %对高斯信号进行傅里叶变换subplot(211),ezplot(ft);title('高斯信号');subplot(212),ezplot(fw);title('傅里叶幅度谱')运行结果如图3.40所示。

    图3.40例3.18运行结果例3.19求F(jω)=11+ω2的傅里叶逆变换f(t) 。

    程序如下： syms t w;fw=1/(1+w^2);ft=ifourier(fw, w, t)； subplot(211), ezplot(ft); title('傅里叶幅度谱');subplot(212), ezplot(fw); title('时域信号') ;运行结果如图3.41所示。

    图3.41例3.19运行结果2. 频率响应特性图的绘制MATLAB工具箱提供的freqs函数可以直接计算系统的频率响应H(jω)。freqs的调用格式为H=freqs(b, a, w)其中，b是频率响应H(jω)中分子多项式的系数向量，a为分母多项式的系数向量，w为需要计算的H(jω)的采样点数。

    例3.20理想低通滤波器在物理上是不可实现的。但传输特性近似于理想特性的电路都能找到。如图3.42所示用RLC元件构成的二阶低通滤波器，其频率响应为H(jω)=11-ω2LC+jωLR图3.42例3.20图设R=L2C，L=0.8H，C=0.1F，R=2Ω， MATLAB求频率响应。

    程序如下：%低通滤波器的幅频及相频特性； b=［0 0 1］;a=［-0.08 0.4 1］;［h,w］=freqs(b,a,100);h1=abs(h);h2=angle(h);subplot(121);plot(w,h1);gridxlabel('角频率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');subplot(122);plot(w,h2*180/pi);gridxlabel('角频率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相频特性');运行结果如图3.43所示。

    图3.43例3.20运行结果图3.44例3.21图例3.21全通网络是指其系统函数H(jω)的极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零点与极点对于jω轴互为镜像对称的网络。它可保证不影响传输信号的幅频特性，如图3.44所示构成的格形滤波器。

    当满足LC=R2即可构成全通网络，此时系统的频率响应为H(jω)=U2(jω)U1(jω)=R-jωLR+jωL设R=10Ω，L=2H， MATLAB求|H(jω)|及φ(ω)。

    程序如下：%全通网络的幅频及相频特性； b=［-2 10］;a=［2 10］;［h,w］=freqs(b,a,150);h1=abs(h);h2=angle(h);subplot(121);plot(w,h1);axis(［0 100 0 1.5］); gridxlabel('角频率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');subplot(122);plot(w,h2*180/pi); gridxlabel('角频率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相频特性');运行结果如图3.45所示。

    图3.45例3.21运行结果本章小结 本章首先介绍了连续非周期信号的傅里叶正、逆变换及其性质，建立了频谱分析的概念。周期信号傅里叶变换的引入，扩大了傅里叶变换的应用范围； 采样信号的傅里叶变换及采样定理是连续时间信号分析与离散时间信号分析之间的桥梁。此外，我们还介绍了傅里叶变换的频域分析及其各种应用。本章的 部分介绍了用MATLAB仿真实现的几个常用信号的傅里叶变换及频率响应的求解。作为信息科学研究领域中广泛应用的有力工具，傅里叶变换在很多后续课程以及研究工作中将不断地发挥至关重要的作用。

    习题3.1计算下列信号的傅里叶变换。

    （1） ejtsgn(3-2t)（2） ddt［e-2(t-1)ε(t)］（3） ej2tε(-t+1) （4） cosπt2,|t|13.2求图3.46所示各信号的傅里叶变换。

    图3.46题3.2图3.3若已知f(t)F(jω)，确定下列信号的傅里叶变换。

    （1） f(1-t)（2） (1-t)f(1-t)（3） f(2t-5)3.4若已知f(t)F(jω)，确定下列信号的傅里叶变换。

    （1） tf(2t)（2） (t-2)f(t)（3） (t-2)f(-2t)（4） tdf(t)dt3.5设f(t)的傅里叶变换为F(jω),求ddtf(at+b)的傅里叶变换以及F(0)、f(0)。

    3.6如图3.47所示信号f(t)，其傅里叶变换为F(jω) ，用傅里叶变换的定义及性质求下列各式。

    (1) φ(ω)(2) F(0)(3) ∫∞-∞F(jω)dω(4) Re［F(jω)］所对应的图形3.7已知矩形脉冲、三角形脉冲、升余弦脉冲的脉冲宽度都为4μs，分别求其频谱所占带宽Bf（频谱图中 零点值）。

    3.8用多种方法求图3.48所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出τ=2τ1情况下该脉冲的频谱图。

    图3.47题3.6图图3.48题3.8图3.9利用微分定理求半波正弦脉冲f(t)及其二阶导数df2(t)dt2的频谱。

    3.10试分别利用下列几种方法证明ε(t)πδ(ω)+1jω。

    （1） 利用符号函数ε(t)=12+12sgn(t)； （2） 利用矩形脉冲取极限(τ→∞)； （3） 利用积分定理ε(t)=∫t-∞δ(τ)dτ； （4） 利用单边指数函数取极限ε(t)=lima→0e-at,t≥0。

    3.11已知信号f1(t)F1(jω)=R(ω)+jX(ω)，f1(t)的波形如图3.49(a)所示，若有信号f2(t)的波形如图3.49(b)所示，求F2(jω)。

    图3.49题3.11图3.12已知三角脉冲f1(t)的傅里叶变换为F1(jω)=Eτ2Sa2ωτ4， 有关定理求f2(t)=f1(t-2τ)cos(ω0t)的傅里叶变换F2(jω)。

    3.13已知阶跃函数的傅里叶变换为ε(t)1jω+πδ(ω)，正弦、余弦函数的傅里叶变换为cos(ω0t)π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)］，sin(ω0t)jπ［δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)］。求单边正弦sin(ω0t)ε(t)和单边余弦cos(ω0t)ε(t)的傅里叶变换。

    3.14若f(t)的频谱为F(jω)，如图3.50所示，求f(t)cos(ω0t),f(t)ejω0t,f(t)cos(ω1t)的频谱并粗略画出其频谱图（注明频谱的边界频率）。

    图3.50题3.14图3.15已知两矩形脉冲f1(t)和f2(t)的傅里叶变换分别为f1(t)τ1Saωτ12，f2(t)τ2Saωτ22，求（1）画出f1(t)*f2(t)的波形； （2）求f1(t)*f2(t)的频谱。

    3.16求F(jω)=1(a+jω)2的傅里叶逆变换。

    3.17若f(t)的傅里叶变换为F(jω)=12［G2a(ω-ω0)+G2a(ω+ω0)］，如图3.51所示，求f(t)并画图。

    图3.51题3.17图3.18求下列周期信号的傅里叶变换。

    （1） f(t)是周期信号，基波频率为ω0，且f(t)=∑∞n=-∞anejnω0t；（2） f(t)=cos(2t)-cos(t)；（3） f(t)=∑∞n=-∞δ(t-πn)；（4） f(t)是图3.52所示周期矩形脉冲信号，脉冲宽度为τ，周期为T1，且T1=4τ，E=1。

    图3.52题3.18图3.19若f(t)F(jω)，p(t)是周期信号，基波频率为ω0，p(t)=∑∞n=-∞anejnω0t，令fp(t)=f(t)p(t)，求傅里叶变换Fp(jω)； 当p(t)分别为下列表达式时求Fp(jω)。

    （1） p(t)=cost2（2） p(t)=cos(2t)-cost（3） p(t)=∑∞n=-∞δ(t-2πn)3.20根据矩形脉冲和升余弦脉冲信号的傅里叶变换，大致画出这两个脉冲信号被冲激采样后信号的频谱采样间隔为Ts,Ts=τ8,τ为脉冲宽度。

    3.21信号f(t)=Sa(100πt)［1+Sa(100πt)］，若对其进行冲激采样，求使频谱不发生混叠的 采样频率fs。

    3.22确定下列信号的 采样频率和奈奎斯特间隔。

    （1） Sa2(100t)（2） Sa(100t)+Sa(100t)（3） Sa(100t)+Sa2(60t)3.23电路如图3.53（a）所示，已知e(t)=2［ε(t)-ε(t-τ)］，求零状态响应uo(t)。

    图3.53题3.23图3.24已知因果LTI系统的输出y(t)和输入f(t)满足下列微分方程： d2y(t)dt2+6dy(t)dt+8y(t)=2f(t)（1） 确定系统的冲激响应h(t)； （2） 如果f(t)=te-2tε(t)，求该系统的零状态响应。

    3.25如果LTI系统的频率响应为H(jω)=1-jω1+jω，试求： （1） 系统的阶跃响应； （2） 输入f(t)=e-2tε(t)时的响应。

    3.26已知理想低通滤波器的频率特性H(jω)=1，|ω|ωc，输入信号为f(t)=sinatπt，则： （1） 求aωc时，滤波器的输出y(t)； （3） 哪种情况下输出有失真？3.27若系统的框图如图3.54(a)所示,输入f(t)是如图3.54(b)所示的周期信号，其周期T=2π，且h1(t)=e-tε(t)，s(t)=sin3t4，H2(jω)的幅频响应|H2(jω)|如图3.54(c)所示，相频特性φ(ω)=0，求该系统的输出y(t)。

    图3.54题3.27图3.28图3.55（a）是抑制载波振幅调制的接收系统。若系统的输入信号为f(t)=sintπtcos1000t，s(t)=cos1000t，低通滤波器的系统函数如图3.55（b）所示，求输出信号y(t)。

    图3.55题3.28图3.29图3.56是码分复用的原理框图，试在频域中分析图中系统码分复用的工作原理。

    图3.56题3.29图3.30图3.57(a)中f(t)=sintπtcos(1000t)，s(t)=cos(1000t)，低通滤波器的频率响应如图3.57（b）所示，其相位特性φ(ω)=0，试求输出信号y(t)，并画出频谱图。

    图3.57题3.30图.7信号f2(t)的波形和频谱3. 奇异函数的傅里叶变换1） 冲激函数冲激函数如图3.8(a)所示。

    图3.8单位冲激函数及其频谱根据傅里叶变换的定义式（3.5）有F ［δ(t)］=∫∞-∞δ(t)e-jωtdt=1(3.24）即单位冲激函数的频谱是常数1，其频谱密度在-∞    如果应用广义极限的概念，从矩形脉冲信号gτ(t)及其频谱讨论也可得到相同的结果。单位冲激函数δ(t)是幅度为1τ，脉宽为τ的矩形脉冲信号当τ→0的广义极限。因而可以写为δ(t)=limτ→01τgτ(t) （3.25）由式（3.14）知，幅度为1的矩形脉冲信号的傅里叶变换为F［gτ(t)］=τSaωτ2因而F1τgτ(t)=Saωτ2所以F［δ(t)］=limτ→0Saωτ2=1这与式（3.24）结果相同。

    2） 冲激偶信号（冲激函数的导数）因为δ(t)1即δ(t)=12π∫∞-∞ejωtdω对上式两边同时对t求导，有dδ(t)dt=12π∫∞-∞(jω)ejωtdω（3.26）式（3.26）说明dδ(t)dtjω即δ′(t)的频谱函数为jωF［δ′(t)］=jω（3.27）同理可得F［δ(n)(t)］=(jω)(n)(3.28）3） 常数（直流信号）冲激函数的频谱等于常数，反过来，什么样的函数其频谱为冲激函数呢？也就是需要求δ(ω)的傅里叶逆变换。由逆变换的定义容易求得F-1［δ(ω)］=12π∫∞-∞δ(ω)ejωtdω=12π(3.29）式（3.29）说明常数12π的傅里叶变换为δ(ω)，于是幅度为1的直流信号的频谱函数为2πδ(ω)，即F［1］=2πδ(ω)（3.30）幅度等于1的直流信号可表示为f(t)=1,-∞

0)当α→0时的极限。直流信号及其频谱如图3.9所示。

    图3.9直流信号及其频谱4） 符号函数符号函数记作sgn（t），它的定义为sgn(t)=def-1,t0其波形如图3.10（a）所示。显然，该函数也不满足 可积条件。

    图3.10sgn(t)及其频谱sgn(t)可看作图3.7（a）所示的函数f2(t)=-eαt,t0其中α>0，当α→0时的极限。因此，sgn(t)的频谱也是f2(t)的频谱F2(jω)当α→0时的极限。f2(t)的频谱函数为F2(jω)=-j2ωα2+ω2当α→0时，有limα→0-j2ωα2+ω2=2jω,ω≠00,ω=0于是得F［sgn(t)］=2jω(3.31）其幅频特性图如图3.10（b）所示。

    5） 阶跃函数单位阶跃函数ε(t)，如图3.11（a）所示，也不满足 可积条件。它可看作是幅度为12的直流信号与幅度为12的符号函数之和，即ε(t)=12+12sgn(t)(3.32）对上式两边进行傅里叶变换，得F［ε(t)］=F12+F12sgn(t)由式(3.30）和式(3.31）可得F［ε(t)］=πδ(ω)+1jω(3.33)单位阶跃函数频谱如图3.11（b）所示。 图3.11ε(t)及其频谱3.2傅里叶变换的性质傅里叶变换的正逆变换对建立了时间函数f(t)和频谱函数F(jω)之间的关系。在信号分析的理论研究与实际设计工作中，经常需要了解当信号在时域进行某种运算后在频域发生何种变化，或者反过来，这时可以借助傅里叶变换的基本性质给出结果。下面讨论这些基本性质。

    为方便起见，把傅里叶变换正逆变换对重新列出，即F(jω)=F［f(t)］=∫∞-∞f(t)e-jωtdt（3.34）f(t)=F-1［F(jω)］=12π∫∞-∞F(jω)ejωtdω（3.35）f(t)与F(jω)的对应关系还可简记为f(t)F(jω)1. 线性若f1(t)F1(jω)f2(t)F2(jω)则对任意常数a1和a2，有a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(jω)+a2F2(jω)（3.36）以上关系很容易用式（3.34）证明，这里从略。显然，傅里叶变换是一种线性变换，它满足叠加性和齐次性，在求单位阶跃函数ε(t)的频谱函数时已经利用了这一线性性质。

    2. 奇偶虚实性现在研究实函数f(t)与其频谱F(jω)之间的虚实、奇偶关系。

    （1） 如果函数f(t)是时间t的实函数，则式（3.34）可写为F(jω)=∫∞-∞f(t)e-jωtdt=∫∞-∞f(t)［cos(ωt)-jsin(ωt)］dt=∫∞-∞f(t)cos(ωt)dt-j∫∞-∞f(t)sin(ωt)dt=R(ω)+jX(ω)=|F(jω)|ejφ(ω)（3.37）因为f(t)是实信号，所以式（3.37）中频谱函数的实部和虚部分别为R(ω)=∫∞-∞f(t)cos(ωt)dtX(ω)=-∫∞-∞f(t)sin(ωt)dt（3.38）频谱函数的模和相角分别为 |F(jω)|=R2(ω)+X2(ω)φ(ω)=arctanX(ω)R(ω)（3.39）由式（3.38）可知，对实信号f(t)，其频谱F(jω)的实部R(ω)是ω的偶函数，虚部X(ω)是ω的奇函数。进而由式（3.39）可知，|F(jω)|是ω的偶函数，而φ(ω)是ω的奇函数。

    （2） 如果f(t)是时间t的实函数并且是偶函数，则f(t)sin(ωt)是t的奇函数，因此式（3.38）中的X(ω)=0,而f(t)cos(ωt)是t的偶函数，于是有F(jω)=R(ω)=∫∞-∞f(t)cos(ωt)dt这时频谱函数F(jω)等于R(ω)，它是ω的实、偶函数。因此，时域中的实、偶函数对应的频谱也是实、偶函数。

    如果f(t)是时间t的实、奇函数，则式（3.38）中R(ω)=0，于是有F(jω)=jX(ω)=-j∫∞-∞f(t)sin(ωt)dt这时频谱函数F(jω)等于jX(ω)，它是ω的虚、奇函数。因此，时域中的实、奇函数对应的频谱是虚、奇函数。

    （3） 由式（3.34）还可求得f(-t)的傅里叶变换F［f(-t)］=∫∞-∞f(-t)e-jωtdt令τ=-t，得F［f(-t)］=∫-∞∞f(τ)ejωτd(-τ)=∫∞-∞f(τ)e-j(-ω)τdτ=F(-jω)考虑到R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，故F(-jω)=R(-ω)+jX(-ω)=R(ω)-jX(ω)=F*(jω)于是f(-t)得傅里叶变换F［f(-t)］=F(-jω)=F*(jω)（3.40）以上讨论的是f(t)是实函数的情况。如果f(t)是t的虚函数或为复函数的情况，可根据以上分析自行推出。

    3. 对称性若f(t)F(jω)则F(jt)2πf(-ω)（3.41）上式表明，如果函数f(t)的频谱为F(jω)，那么时间函数F(jt)的频谱是2πf(-ω)。这称为傅里叶变换的对称性。它可证明如下： 傅里叶逆变换的表达式为f(t)=12π∫∞-∞F(jω)ejωtdω将上式中的自变量t换为-t得f(-t)=12π∫∞-∞F(jω)e-jωtdω将上式中的t和ω互换，得f(-ω)=12π∫∞-∞F(jt)e-jωtdt则2πf(-ω)=∫∞-∞F(jt)e-jωtdt上式表明，时间函数F(jt)的傅里叶变换为2πf(-ω)，即式（3.41），得证。

    若f(t)是偶函数，则F(jt)2πf(ω)。

    例如，已经知道δ(t)的傅里叶变换为常数1。根据对称性可得，常数1的傅里叶变换为2πδ(-ω)=2πδ(ω)，这与式（3.30）的结果相同。

    例3.1求采样函数Sa(t)=sintt的频谱。

    解直接利用式（3.34）求Sa(t)的傅里叶变换比较困难，利用对称性则较为方便。

    由式（3.14）知，脉宽为τ（τ=2），幅度为12的矩形脉冲信号，如图3.12（a）所示，其傅里叶变换为F12g2(t)=12×2Sa(ω)=Sa(ω)即12g2(t)Sa(ω)因为g2(t)是偶函数，根据对称性可得采样脉冲Sa(t)的傅里叶变换为Sa(t)2π×12g2(ω)=πg2(ω)即F［Sa(t)］=πg2(ω)=π,|ω|1频谱如图3.12（b）所示。

    图3.12函数Sa(t)及其频谱4. 尺度变换若f(t)F(jω)则对于实常数a(a≠0)，有f(at)1|a|Fjωa（3.42）证明如下： 设f(t)F(jω)，则展缩后的信号f(at)的傅里叶变换为F［f(at)］=∫∞-∞f(at)e-jωtdt令x=at，则t=xa,dt=1adx。

    当a>0时F［f(at)］=∫∞-∞f(x)e-jωxa1adx=1a∫∞-∞f(x)e-jωaxdx=1aFjωa当a    尺度特性说明，若信号f(t)在时间坐标上压缩到原来的1a，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1|a|。也就是说，在时域中信号占据时间的压缩（速度快）对应于其频谱在频域中信号占有频带的扩展（频带宽）。反之，信号在时域中的扩展对应于其频谱在频域中的压缩。

    图3.13画出了f(t)为矩形脉冲信号时尺度变换的几种情况。

    图3.13尺度变换特性的举例说明由图3.13可知，信号由f12t→f(t)→f(2t)的持续时间越来越短，所占频带宽度的变化趋势是πτ→2πτ→4πτ，即占有的频带越来越宽。因此，信号的持续时间与信号的占有频带成反比。在电子技术中，有时需要将信号持续时间缩短，以加快信息传输速度，这就不得不在频域内展宽频带。

    5. 时移特性时移特性也称为延迟特性。它可表述为若f(t)F(jω)且t0为常数，则有f(t-t0)e-jωt0F(jω)（3.43）式（3.43）表示，信号在时域中沿时间轴右移（即延迟）t0，其在频域中所有频率“分量”相应落后相位ωt0，而其幅度保持不变。

    证明如下： 令f(t-t0)的傅里叶变换为F1(jω)，则F1(jω)=∫∞-∞f(t-t0)e-jωtdt令x=t-t0，则上式可以写为F1(jω)=∫∞-∞f(x)e-jω(x+t0)dx=e-jωt0∫∞-∞f(x)e-jωxdx=e-jωt0F(jω)即F［f(t-t0)］=e-jωt0F(jω)时移特性得证。

    同理可得F［f(t+t0)］=ejωt0F(jω)（3.44）F(jω)e±jωt0称为对F(jω)的调制（在性质6频移特性中说明）。因此，时移特性表明，信号在时域中有时移，对应在频域中有调制。

    如果信号既有时移又有尺度变换，如f(at-b)，根据尺度变换特性和时移特性有f(at-b)1|a|e-jbaωFjωa（3.45）显然，尺度变换和时移特性是上式的两种特殊情况。

    例3.2已知图3.14（a）的函数f(t)是宽度为τ、高度为1的矩形脉冲信号，其傅里叶变换F(jω)=τSaωτ2，求图3.14（b）和图3.14（c）中函数f1(t)、f2(t)的傅里叶变换。

    解(1) 图3.14(b)中函数f1(t)可写为f1(t)=f(t-1)则其傅里叶变换为F1(jω)=F(jω)e-jω=τSaωτ2e-jω(2) 图3.14(c)中函数f2(t)可写为f2(t)=ft+τ2-ft-τ2其傅里叶变换为F2(jω)=F(jω)ejωτ2-F(jω)e-jωτ2=τSaωτ2(ejωτ2-e-jωτ2)=τsinωτ2ωτ22jsinωτ2=4jsin2ωτ2ω图3.14例3.2图6. 频移特性频移特性也称为调制特性。它可表述为若f(t)F(jω)且ω0为常数，则f(t)ejω0tF［j(ω-ω0)］（3.46）证明： F［f(t)ejω0t］=∫∞-∞f(t)ejω0t·e-jωtdt=∫∞-∞f(t)e-j(ω-ω0)tdt=F［j(ω-ω0)］频移特性表明，在时域中将信号f(t)乘以因子ejω0t（称为对f(t)的调制），对应于在频域中将频谱沿ω轴右移ω0； 同理，在时域中将信号f(t)乘以因子e-jω0t，对应于在频域中将频谱函数将左移ω0。因此，信号在时域调制，对应频域有频移。

    频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅、同步解调、变频等都是在频谱搬移的基础上实现的。因为ejω0t是复数，因此实际中频谱搬移是通过将信号f(t)乘以载频信号cos(ω0t)或sin(ω0t)得到高频已调信号y(t)的，即y(t)=f(t)cos(ω0t)或y(t)=f(t)sin(ω0t)（3.47）显然，若信号f(t)的频谱信号为F(jω)，则高频已调信号f(t)cos(ω0t)或f(t)sin(ω0t)的频谱函数为f(t)cos(ω0t)12{F［j(ω+ω0)］+F［j(ω-ω0)］}f(t)sin(ω0t)j2{F［j(ω+ω0)］-F［j(ω-ω0)］}（3.48）可见，当某低频信号f(t)用角频率为ω0的余弦（或正弦）信号进行调制时，已调信号的频谱使f(t)的频谱F(jω)一分为二，分别向左和向右搬移ω0，且幅度都变为原来的12，但形状并未改变。

    例如，若f(t)是幅度为1的矩形脉冲信号，则y(t)=f(t)cos(ω0t)=12f(t)e-jω0t+12f(t)ejω0ty(t)又常称为高频脉冲信号，由于f(t)τSaωτ2，根据线性和频移特性，高频脉冲信号y(t)的频谱函数为Y(jω)=τ2Sa(ω+ω0)τ2+τ2Sa(ω-ω0)τ2图3.15画出了矩形脉冲信号及其频谱，以及高频脉冲信号y(t)和其频谱。

    图3.15矩形脉冲信号及其频谱，高频脉冲及其频谱7. 时域微分和积分特性这里研究信号f(t)对时间t的微分和积分的傅里叶变换。f(t)的n阶微分和一重积分可用下述符号表示f(n)(t)=dnf(t)dtn(n表示求n阶导数)（3.49）f(-1)(t)=∫t-∞f(τ)dτ（3.50）1） 时域微分特性若f(t)F(jω)则f(n)(t)(jω)nF(jω)（3.51）证明： 因为f(t)=12π∫∞-∞F(jω)ejωtdω上式两边同时对t求一阶导，得df(t)dt=12π∫∞-∞［jωF(jω)］ejωtdω（3.52）式（3.52）表明df(t)dtjωF(jω)（3.53）同理，可推出f(n)(t)(jω)nF(jω)例3.3求图3.16(a)所示三角形脉冲信号f(t)=1-2τ|t|,|t|τ2的频谱函数。

    图3.16f(t)及其导数解三角形脉冲f(t)及其一阶、二阶导数如图3.16所示。设f(t)、df(t)dt、d2f(t)dt2的傅里叶变换分别为F(jω)、F1(jω)、F2(jω)。

    图3.16（c）所示函数由三个冲激函数组成，可以写为d2f(t)dt2=2τδt+τ2-4τδ(t)+2τ

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