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《核工程专业基础课数学案例》是在工程教育认证背景下，为加强核工程专业的专业基础课程教学与数学课程教学之间的协作而编写的。编者将十年来教学、科研工作中涉及数学的部分进行了总结，针对核工程专业的工程流体力学、传热学、核反应堆物理、自动控制原理等主要专业基础课程，归纳出34个数学知识点、32个专业基础课知识点，并整理撰写出15个知识点案例和11个大型综合案例。

目录

前言

知识点案例1

知识点案例（1）3

数学知识点（M01）——梯度的定义3

专业基础课知识点（S01）——工程流体力学：流体平衡方程式（欧拉方程式）的矢量表达3

专业基础课知识点（S02）——传热学：导热基本定律（傅里叶定律）3

知识点案例（2）4

数学知识点（M02）——旋度的定义4

专业基础课知识点（S03）——工程流体力学：流体流动的旋转角速度5

知识点案例（3）6

数学知识点（M03）——散度的定义6

专业基础课知识点（S04）——工程流体力学：微分形式的连续方程6

知识点案例（4）6

数学知识点（M04）——矢性微分算子6

专业基础课知识点（S05）——工程流体力学：梯度、旋度、散度采用哈密顿算子表达的示例7

知识点案例（5）8

数学知识点（M05）——数性微分算子8

专业基础课知识点（S06）——工程流体力学：使用欧拉方法描述流体运动的随体导数8

知识点案例（6）9

数学知识点（M06）——等量面9

专业基础课知识点（S07）——工程流体力学：等压面9

知识点案例（7）9

数学知识点（M07）——数量场与矢量场10

专业基础课知识点（S08）——传热学：温度场决定热流密度场10

知识点案例（8）10

数学知识点（M08）——有势场、无旋场、保守场10

数学知识点（M09）——有势场、无旋场、保守场、某一函数的全微分之间的关系定理.11

专业基础课知识点（S09）——工程流体力学：流体静力学的平衡条件和势函数12

知识点案例（9）14

数学知识点（M10）——高斯公式的矢量形式14

专业基础课知识点（S10）——工程流体力学：微分形式的连续性方程14

知识点案例（10）15

数学知识点（M11）——旋转体的体积计算15

专业基础课知识点（S11）——工程流体力学：旋转抛物面围成的体积16

知识点案例（11）18

数学知识点（M12）——包含自然对数函数的积分18

专业基础课知识点（S12）——工程流体力学：光滑圆管中紊流的速度分布计算19

知识点案例（12）20

数学知识点（M13）——积分上限的函数20

专业基础课知识点（S13）——工程流体力学：边界层的动量积分关系式21

知识点案例（13）22

数学知识点（M14）——线性方程组求解迭代过程的收敛性22

专业基础课知识点（S14）——传热学：导热数值计算迭代过程收敛的判据28

知识点案例（14）29

数学知识点（M15）——三维空间的立体角和微元立体角的定义29

专业基础课知识点（S15）——核反应堆物理：中子角密度和中子角通量密度30

专业基础课知识点（S16）——传热学：定向辐射强度31

知识点案例（15）31

数学知识点（M16）——复数的定义32

数学知识点（M17）——复数的几何表示32

数学知识点（M18）——复数的代数运算32

专业基础课知识点（S17）——自动控制原理：根轨迹法32

专业基础课知识点（S18）——自动控制原理：频率特性33

大型综合案例35

大型综合案例（一）37

数学知识点（M19）——不定式的定值法：洛必达法则37

数学知识点（M20）——傅里叶级数38

专业基础课知识点（S19）——传热学：黑体的辐射能与温度之间的关系44

大型综合案例（二）52

数学知识点（M21）——含参变量的积分52

专业基础课知识点（S20）——工程流体力学：局部导数与控制体上的积分运算可以交换次序53

专业基础课知识点（S21）——工程流体力学、传热学：连续介质假设57

大型综合案例（三）57

数学知识点（M22）——斯托克斯定理57

数学知识点（M23）——积分表选用58

专业基础课知识点（S22）——传热学：辐射角系数的分析计算（环路）积分法58

大型综合案例（四）79

数学知识点（M24）——常微分方程的差分方法79

专业基础课知识点（S23）——核反应堆物理：点堆中子动力学方程的求解81

大型综合案例（五）88

数学知识点（M25）——幂级数88

专业基础课知识点（S24）——工程流体力学：平板边界层的近似计算90

大型综合案例（六）93

数学知识点（M26）——泰勒公式93

数学知识点（M27）——泰勒级数95

专业基础课知识点（S25）——传热学：导热微分方程数值求解中离散方程的建立96

专业基础课知识点（S26）——自动控制原理、核反应堆物理：非线性系统的线性化方法以及点堆中子动力学方程的线性化99

大型综合案例（七）104

数学知识点（M28）——椭圆型偏微分方程的差分方法104

数学知识点（M29）——求解线性方程组的高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代106

专业基础课知识点（S27）——传热学：二维稳态导热的求解108

大型综合案例（八）111

数学知识点（M30）——抛物型偏微分方程的差分方法111

数学知识点（M31）——追赶法求解三对角线性方程组115

专业基础课知识点（S28）——传热学：一维非稳态导热的求解120

大型综合案例（九）128

数学知识点（M32）——方程求根的迭代法128

专业基础课知识点（S29）——工程流体力学：管内流动的水力计算133

大型综合案例（十）138

数学知识点（M33）——拉普拉斯变换138

专业基础课知识点（S30）——自动控制原理：控制系统建模140

专业基础课知识点（S31）——自动控制原理：二阶系统时域分析141

大型综合案例（十一）142

数学知识点（M34）——分块矩阵的逆矩阵142

专业基础课知识点（S32）——自动控制原理：状态微分反馈控制与积分控制的等价性证明143

参考文献149

案例知识点关系（知识案例部分）151

案例知识点关系（大型综合案例部分）152

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知识点案例

　　知识点案例的宗旨是

　　一、明确指出某一个数学知识点在专业基础课中的应用背景，即赋予数学知识点明确的物理意义；

　　二、明确指出解决或表达某一个专业基础课知识点所采用的有效的数学工具。

　　知识点案例具有如下特点。

　　一、在一个案例中，应用某个数学知识点去解决或表达某个专业基础课的知识点；

　　二、案例的知识点配置为：一个或多个数学知识点支持一个专业基础课的知识点，或者一个数学知识点支持一个或多个专业基础课的知识点，或者多个数学知识点支持多个专业基础课的知识点；

　　三、每个案例中至少包括一个数学知识点和一个专业基础课的知识点。

　　知识点案例（1）

　　本案例的宗旨是：将数学知识点——梯度的定义，用于表达“工程流体力学”中的流体平衡方程式（欧拉方程式）的矢量形式，以及“传热学”中的导热基本定律——傅里叶定律。

　　数学知识点（M01）——梯度的定义

　　设函数u=f（x，y，z）在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P（x，y，z）∈G，都可给出一个矢量

　　这矢量称为函数u=f（x，y，z）在点P（x，y，z）的梯度，记作grad f（x，y，z），

　　即

　　函数在某点的梯度是这样一个矢量，它的方向与取得 方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的 值。

　　专业基础课知识点（S01）——工程流体力学：流体平衡方程式（欧拉方程式）的矢量表达

　　流体平衡方程式（欧拉方程式）的分量表达式为

　　将其用矢量形式表达为

　　专业基础课知识点（S02）——传热学：导热基本定律（傅里叶定律）

　　根据热传导理论中的傅里叶（Fourier）定律：在温度场中任一点处t（M），沿任一方向的热流密度（即在该点处于单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比。由此可知，在场中之任一点处，沿l方向的热流密度为

　　其中，比例系数λ>0，称为导热系数，其前面的负号，表示热流的方向与温度增大的方向相反。

　　由于等于梯度矢量grad t在l方向的投影，故知就等于矢量在l方向的投影。若记

　　则有

　　由此可见，当l的方向与q的方向一致时，cos（q，l）=1，此时热流密度取得 值。这说明在场中之任一点处，矢量q的方向表达了热流密度 的方向，其模也正好表示 热流密度的数值。因此，热流密度q是矢量。

　　如果以n表示沿梯度方向的单位矢量，傅里叶定律表达为

　　式中，为沿梯度方向的方向导数。

　　知识点案例（2）

　　本案例的宗旨是：将数学知识点——旋度的定义，用于表达“工程流体力学”中的流体流动的旋转角速度。

　　数学知识点（M02）——旋度的定义

　　设有一矢量场

　　其中，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）均具有一阶连续偏导数，则矢量

　　称为矢量场A的旋度，记作rot A，即

　　用矢性微分算子，矢量场A的旋度rot A可以表示为×A，也可利用行列式形式表示

　　对比式（M02-3）与式（M02-4），可以看出，按照后者理解记忆较前者容易得多。

　　专业基础课知识点（S03）——工程流体力学：流体流动的旋转角速度

　　流体微团旋转角速度的分量形式为

　　其矢量表达式为

　　对于无旋流动，

　　可得

　　知识点案例（3）

　　本案例的宗旨是：将数学知识点——散度的定义，用于表达“工程流体力学”中的微分形式的连续方程。

　　数学知识点（M03）——散度的定义

　　在直角坐标系中，矢量场

　　在任一点M（x，y，z）的散度为

　　专业基础课知识点（S04）——工程流体力学：微分形式的连续方程

　　可压缩流体三维非定常流动微分形式的连续方程

　　改写成矢量形式为

　　知识点案例（4）

　　本案例的宗旨是：将数学知识点——矢性微分算子，用于表达梯度、旋度、散度。

　　数学知识点（M04）——矢性微分算子

　　矢性微分算子的定义为

　　它又称为（Nabla）算子或哈密顿（Hamilton）算子。运用矢性微分算子，我们有

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书籍介绍

《核工程专业基础课数学案例》是在工程教育认证背景下，为加强核工程专业的专业基础课程教学与数学课程教学之间的协作而编写的。编者将十年来教学、科研工作中涉及数学的部分进行了总结，针对核工程专业的工程流体力学、传热学、核反应堆物理、自动控制原理等主要专业基础课程，归纳出34个数学知识点、32个专业基础课知识点，并整理撰写出15个知识点案例和11个大型综合案例。